Sauvons les maths ! Ce calcul du nombre d’ascendants est evidemment exact, mais il s’agit d’un nombre d’ascendants theoriques ou l’on compte plusieurs fois le meme ancetre. Sur certains sites web, la liste des ancetres comprend d’ailleurs une ligne par ancetre theorique et de nombreux doublons. Finalement ce calcul prouve justement l’existence de tels doublons, qu’ils sont meme largement les plus nombreux a partir d’une certaine epoque.
Si on change de point de vue, on peut obtenir un autre calcul interessant : si on prend une personne et qu’on connait la probabilite que chacun de ses parents descend ou non de Charlemagne, on peut calculer cette probabilite pour cette personne.
Supposons qu’a un moment donne, une fraction p0 de la population descend de Charlemagne et une fraction q0(=1-p0) n’en descend pas.
Un enfant qui nait a la generation suivante ne descendra pas de Charlemagne dans un seul cas : si aucun de ses deux parents n’en descend, ce qui arrive avec une probabilite q1=q0*q0 = q0 au carre. Dans la generation suivante la proba de ne pas descendre de Charlemagne est donc de q0 carre. Par exemple, si 10% de la population ne descend pas de Charlemagne (estimation Beaucarnot) pour la generation suivante ce pourcentage tombera a... 1% (1/100=1/10*1/10).
A la generation suivante, on refait le meme calcul mais du coup, q0 doit etre remplace par q1 donc q0 au carre ; la proba de ne pas descendre de Charlemagne sera donc de q0 carre au carre, donc q0 puissance 4, puis q0 puissance 4 au carre donc q0 puissance 8, etc.
De proche en proche, on trouve qu’au bout de k generations cette proba qk est de q0 puissance (2 puissance k). Un calcul (pour les plus courageux et les plus inities) montrent que si q0 est tres petit, au bout de k generations on a la formule ln qk = - 2 puissance k fois p0.
Maintenant, comment calculer k et p0 ?
4 generations par siecle, 12 siecles depuis l’epoque des enfants de Charlemagne donne k=48.
Je compte 18 enfants sur une population de 9 000 000 d’hab. donc p0 = 2.10^-6. (^ : puissance)
Donc ln qk = - 5.10^8 donc qk = 2 fois 10 puissance (200 millions), ce qui fait une probabilite de ne pas descendre de Charlemagne infiniment (a un point pratiquement inconcevable) plus faible que les 10% de Beaucarnot !
D’accord, tout au long de ce calcul on a fait beaucoup d’hypotheses et d’approximations (melange au sein de la population, pas avec des populations etrangeres, fait de pouvoir choisir un pere independamment du choix de la mere...) mais je pense que la conclusion s’impose d’elle-meme : Beaucarnot est de tres loin en-dessous de la realite !
Mais il est sans doute plus interessant de pouvoir remonter jusqu’a Charlemagne que de savoir que l’on en descend presque certainement ; quant a prouver que l’on n’en descend pas, il faudrait pouvoir remonter jusqu’a tous ses ancetres a cette epoque pour en etre sur, ce qui est impossible.
Sauvons les maths ! Ce calcul du nombre d’ascendants est evidemment exact, mais il s’agit d’un nombre d’ascendants theoriques ou l’on compte plusieurs fois le meme ancetre. Sur certains sites web, la liste des ancetres comprend d’ailleurs une ligne par ancetre theorique et de nombreux doublons. Finalement ce calcul prouve justement l’existence de tels doublons, qu’ils sont meme largement les plus nombreux a partir d’une certaine epoque.
Si on change de point de vue, on peut obtenir un autre calcul interessant : si on prend une personne et qu’on connait la probabilite que chacun de ses parents descend ou non de Charlemagne, on peut calculer cette probabilite pour cette personne.
Supposons qu’a un moment donne, une fraction p0 de la population descend de Charlemagne et une fraction q0(=1-p0) n’en descend pas.
Un enfant qui nait a la generation suivante ne descendra pas de Charlemagne dans un seul cas : si aucun de ses deux parents n’en descend, ce qui arrive avec une probabilite q1=q0*q0 = q0 au carre. Dans la generation suivante la proba de ne pas descendre de Charlemagne est donc de q0 carre. Par exemple, si 10% de la population ne descend pas de Charlemagne (estimation Beaucarnot) pour la generation suivante ce pourcentage tombera a... 1% (1/100=1/10*1/10).
A la generation suivante, on refait le meme calcul mais du coup, q0 doit etre remplace par q1 donc q0 au carre ; la proba de ne pas descendre de Charlemagne sera donc de q0 carre au carre, donc q0 puissance 4, puis q0 puissance 4 au carre donc q0 puissance 8, etc.
De proche en proche, on trouve qu’au bout de k generations cette proba qk est de q0 puissance (2 puissance k). Un calcul (pour les plus courageux et les plus inities) montrent que si q0 est tres petit, au bout de k generations on a la formule ln qk = - 2 puissance k fois p0.
Maintenant, comment calculer k et p0 ?
4 generations par siecle, 12 siecles depuis l’epoque des enfants de Charlemagne donne k=48.
Je compte 18 enfants sur une population de 9 000 000 d’hab. donc p0 = 2.10^-6. (^ : puissance)
Donc ln qk = - 5.10^8 donc qk = 2 fois 10 puissance (200 millions), ce qui fait une probabilite de ne pas descendre de Charlemagne infiniment (a un point pratiquement inconcevable) plus faible que les 10% de Beaucarnot !
D’accord, tout au long de ce calcul on a fait beaucoup d’hypotheses et d’approximations (melange au sein de la population, pas avec des populations etrangeres, fait de pouvoir choisir un pere independamment du choix de la mere...) mais je pense que la conclusion s’impose d’elle-meme : Beaucarnot est de tres loin en-dessous de la realite !
Mais il est sans doute plus interessant de pouvoir remonter jusqu’a Charlemagne que de savoir que l’on en descend presque certainement ; quant a prouver que l’on n’en descend pas, il faudrait pouvoir remonter jusqu’a tous ses ancetres a cette epoque pour en etre sur, ce qui est impossible.
Cousinement votre,
Philippe